Жидкости, у которых вязкость зависит от напряжения сдвига, принято называть неньютоновскими. Равносильное определение можно получить, если называть неньютоновскими жидкостями такие, у которых вязкость является функцией скорости сдвига. Известные классификации неньютоновских жидкостей построены на эмпирических уравнениях, связывающих вязкость и скорость деформации [1]. Наибольшее число параметров в этих уравнениях имеет реологическая модель Рейнера-Филиппова, где имеется три параметра. Отсюда следует первый вывод: универсальная реологическая модель должна содержать не более трех независимых реологических параметров. Известное обобщение реологических моделей 121 состоит элемента Фойгта, соединенного последовательно с элементом Максвелла. Достоинством такой модели является молекулярная интерпретация вязко упругих свойств, когда деформация складывается из мгновенной упругой деформации необратимого вязкого течения и запаздывающей упругой деформации. Согласно качественному представлению о молекулярном механизме мгновенной упругой деформации, она возникает благодаря нагружению и вытягиванию первичных валентных связей, а необратимое вязкое течение возникает в результате скольжения молекулярных цепей относительно друг друга. Удлиненные и ориентированные структуры молекулярных цепей способствуют перестройке их структуры из данной формы в новую, что приводит к возникновению запаздывающей упругой деформации. Математическая модель последовательно соединенных элементов Максвелла и Фойгта состоит из трех уравнений:

1. Равенство общей деформации сумме деформаций элементов Фойгта и Максвелла.

2. Реологическое уравнение элемента Фойгта.

3. Реологическое уравнение элемента Максвелла.

Эти три уравнения содержат четыре параметра (по два в двух элементах). Из трех уравнений можно исключить два параметра и сделать вывод, что объединение элементов Максвелла и Фойгта содержит только два независимых параметра. Как было замечено выше, универсальная реологическая модель содержит три параметра. Отсюда следует второй вывод: реологическая модель последовательно соединенных элементов Фойгта и Максвелла не является универсальной.

Покажем, что универсальную реологическую модель можно получить, используя векторы в комплексной плоскости. Для этого поместим векторы деформаций и напряжений в комплексную плоскость так, чтобы они пересеклись в начале координат. Угол пересечения векторов δ зависит от материала (фазовый угол). Проекции векторов на оси координат представляют их действительные и мнимые компоненты. Такая интерпретация напряженно-деформированного состояния материала позволяет ввести понятия комплексного динамического модуля сдвига, комплексной скорости сдвига и комплексной вязкости, которые связаны с преобразованиями энергии. Если компоненты напряжения и деформации совпадают по фазе, то энергия накапливается, если они не совпадают по фазе — энергия рассеивается. Отсюда следует третий вывод: универсальную реологическую модель можно искать, отображая напряженное состояние неньютоновской жидкости на ее деформированное состояние с помощью функции комплексного переменного. Для выбора такой функции учтем три обстоятельства:

1. Круговые диаграммы напряжений и деформаций применимы для всех материалов независимо от их физико-механических свойств.

2. Круговую диаграмму напряжений отображает на круговую диаграмму деформаций дробно-линейная функция.

3. Общий вид несократимой дробно-линейной функции имеет три параметра.

На основании сделанных выводов универсальная реологическая модель неньютоновской жидкости примет вид

W = (az+b) /(z+c)      (1)

где: z = s+it, W=e+ig — комплексные числа,

s, t и e, g — нормальные и сдвиговые компоненты напряжений и деформаций соответственно.

Функция (1) сохраняет консерватизм углов, форму прямых и окружностей, а также взаимно однозначное соответствие, т.е. обеспечивает конформное отображение кругов Мора.

Отображение (1) для действительных осей комплексной плоскости дает зависимость нормальных напряжений от нормальных деформаций за пределами области упругости

s= (сe-b) /( e_m- e), (e_m=maxe)        (2)

Для оценки значения e_m можно применить линейную аппроксимацию зависимости s (e)

s=s_m+E (e-e*)        (3)

Где e* — граница между квазиупругой и квазипластической областями.

Поскольку b=ce₀ (e₀-граница квазипластической области), то из (2) и (3) можно найти параметры реологической модели. Введя интервалы квазипластической, квазиупругой и предельных деформаций

De₁=e*-e₀, De₂=e_m-e*, D=e_m-e₀,

Можно в интервале (e₀, e*) получить зависимость s (e)

s=c (e-e₀) /(e_m-e)    (4)

Сравнение формулы (4) с известными формулами экспоненциального типа показывает их качественное подобие, так как все эти формулы содержат общее понятие — потеря сжимаемости (e_m-e₀).

Компоненты вектора полной деформации для произвольно ориентированной площадки определяются подстановкой z = s+it, и W=e+it в уравнение (1).

Тогда e+ig=[ (e_ms+ce₀) ( s+c) +e_mt²+ict (e_m-e₀) ]/( s+c) ²+t²     (5)

Итак, действительные и мнимые части (5) определяют нормальные e (s, t) и угловые g (s, t) деформации. Тем самым показано, что построение универсальной реологической модели путем наложения плоских круговых диаграмм ограничивается поиском трех параметров. Эти три параметра являются функциями трех независимых переменных: модуля упругости, коэффициента вязкости и его предельного значения.

Гамолич В.Я., старший научный сотрудник, ОНПУ

Шерстобитов В.В., доктор технических наук, УТА

1. Дж.Г.Олдройд. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел, гл.16 в кн. "Реология", под ред. Ф.Эйриха. Издатинлит,1962.

2. Т.Алфрей, Е.Ф.Герни, Динамика вязкоупругого поведения, гл.11 в кн. "Реология", под ред. Ф.Эйриха. Издатинлит, 1962.